Модели
Функционирование многих планарных МЭМС устройств можно промоделировать, при помощи моделей балок и электростатических зазоров. Реализованы модели линейных и нелинейных балок, как для маленьких, так и больших деформаций, для точного моделирования электростатической активации также важна реализация нелинейного поведения в модели зазора. Как и в SPICE, в SUGAR существуют разные уровни модели, которые позволяют пользователю попеременно варьировать точностью и скоростью моделирования.
Модель линейной балки.
Любые две соединённые балки в SUGAR в общих узловых точках имеют общую деформацию и изгиб. Это условие отвечает требованию непрерывности как деформации, так и изгиба. Поперечная деформация ν(x), смещение по оси u(x), угол вращения θ(x)=(dν/dx) могут быть описаны 3 уровнями свободы в каждом узле (рис. 3).
 |
Рис 3. Изогнутая балка, демонстрирующая узловые силы, моменты и координаты. |
В области между узлами, уравнение состояния равновесия для балки имеет вид:
Решая уравнение для ν(x) и налагая граничные условия на узловые концы получаем 4 уравнения и 4 неизвестные. Решая для коэффициентов ν(x) и θ(x) в виде νn и θn и группируя подобные члены получаем:
ν(x)=H1(x)ν1+H2(x)θ1+H3(x)ν2+H4(x)θ2 (3)
где кубические функции Hi(x) - это функции формы Эрмита.
Жёсткость для этой балки может быть найдена, исходя из теоремы Кастильяно:
где Fi сила или момент, qi смещение координат для уровней свободы i=1,2,3 по q=x,y,θ соответственно.
В линейном случае, энергия деформации S для балки с постоянным поперечным сечением равна:
 Подставляя уравнение (5) в уравнение (4) получаем жесткость. которое даёт:![[k]<sub>s</sub>](pril/f6.gif) Матрицу массы находим приравнивая внутреннею и внешнюю работу, обусловленную возможными смещениями [16]. В результате получаем: 
где ρ(x) и A(x) плотность и площадь поперечного сечения по координате x вдоль балки. Если ρA константа, мы имеем:
где ρ- это плотность и A - это площадь поперечного сечения балки.
Используя простую модель потока Куете (Couette) мы аппроксимируем матрицу затухания к виду:
где μ - это вязкость жидкостной среды и ∆ - это расстояние между устойством и подложкой. Как μ, так и ∆ определяют в файле процесса.
Модель нелинейного зазора.
В случае паралельного электростатического зазора, где длина балки L намного больше, чем расстояние зазора d, и толщина слоя h~d, равнодействующая сила в каждой балке:
где коэффициент α>1 условие краевого поля.
Как описано ранее, поперечное смещение может быть описано узловыми координатами и функциями формы Эрмита Ссылаясь на рис 4.
 |
Рис 4. Уровень-2 модели электростатического актюатора. Представлена распределённая электростатическая сила p(x) вдоль длины балки, которая изменяется вследствие изгиба. |
расстояние между балками в по координате x:
d(x)=d0+ν1(x)-ν2(x) (12)
где d0это исходное расстояние зазора, а ν1(x) и ν2(x) поперечные смещения (уравнение 3) балок по координате x. Узловые силы, обусловленные распределённой силой на единицу длины:
Для электростатического случая сила на единицу длины приблизительно равна:
При решении интеграла в уравнении (13) для общего аналитического представления находят эквивалентные узловые силы и моменты. Это ананлитическое прдеставление параметризуют только по напряжению и узловым координатам, как требуется для достижения соответствия со схемой узлового анализа в SUGAR."nb узловые силы добавляют к вектору сил системы в уравнении (1) для дальнейшего анализа. Модель первого уровня зазора подобна модели второго уровня, отличие только в том, что не рассматривается вклад изгибающего и краевого поля.
Модель зазора с контактными силами.
Используя модель линейной балки и модель нелинейного электростатического зазора, SUGAR может найти состояние равновесия устройства до или после срабатывания. Для того чтобы промоделировать поведение контакта между балками с электростатическим зазором, к взаимодействующим балкам добавляют отталкивающие узловые силы. Размер зазора и глубину контактного проникновения балок определяют из уравнения 12. Одинаковые и противоположные контактные силы препятствуют приближению к нулю абсолютного расстояния зазора таким образом, что модель электростатической силы не будет стремиться к бесконечности.
Модель контактных сил выбирается так, чтобы |Fc|>>|Fe|, при условии dc и |Fc|<<|Fe|, при условии d>dc, где Fc, Fe и dc - это контактная сила, электростатическая сила и критическое зазорное расстояние соответственно. Поскольку электростатические силы являются притягивающими и пропорциональны d-2, мы выбираем контактную силу как отталкивающую и пропорциональную d-3. Для преодоления проблем сходимости мы сделали усовершенсвование для этой функциив случае, когда d очень близко к нулю или меньше нуля.
На рис 5. показано моделирование срабатывания электростатического зазора (уровень 1). На рисунке (5.а) показано тестируемое устройство. На рисунке (5.b) показано напряжение срабатывания V, как функция длины балки L. Хорошее соответствие экспериментальным данным было достигнуто при модуле Юнга 140 ГПа.
 |
Рис 5. Сравнение промоделированных напряжений срабатывания с экспериментальными данными. | Модель нелинейной балки. В модели линейной балки {qi} пропорционально Fi. Эта модель подходит для маленьких деформаций; однако когда деформации велики имеют место нелинейные эффекты. Например могут происходить изменения в проектируемой длине вследствие изгиба или изменения в жёсткости вследствие продольных сил.
Уровень 2 (нелинейный) модели балки разработан для условий небольшого вращения. Рассматривается только геометрическая нелинейность. Эта модель начинается с линейной интерполяции продольного смещения и кубической интерполяции поперечного смещения.
 где {u1 ν1 q1} и {u2 ν2 q2}- это векторы узлового смещения (рис 3.) и θ0=(ν2-ν1)/L.
Напряжение в каждой точке балки может быть рассчитано по смещениям:
 где η - это расстояние от нейтральной оси. Среднее выражение в уравнении выше - это среднее число
(dν/dx)2/2 вдоль балки. Подставляя уравнение (17) в следующее даёт нам энергию напряжения:
Затем подставляя уравнение (18) в уравнение (4) получаем узловые силы как функцию смещений. Эта модель учитывает вклад продольного смещения в напряжение. На рис (6а) демонстрирует моделирование защемлённой балки с центральной сосредоточенной нагрузкой. Моделирование отклика нагрузка/деформация (рис 6b) имеет близкие результаты с Abaqus вне обычного рабочего диапазона.
 |
Рис 6. Нелинейная деформация. Представлена кривая нагрузка/деформация для защемлённой балки с сосредоточенной нагрузкой. |
| Раздел Моделирование МЭМС, используя Sugar, составлен на основе статьи Jason Vaughn Clark, Ningning Zhou, and K. S. J. Pister. (University of California at Berkeley) [12]
|
|
