Алгоритмы и результаты
В данном разделе описываются алгоритмы, встроенные в SUGAR. Статический алгоритм имеет дело с поиском состояния равновесия МЭМС устройства, когда приложены постоянные механические силы или напряжения. Алгоритм устойчивого состояния рассматривает отклик системы, подвергнутой демпферированию (затуханию) и синусоидальным возбуждающим силам. В заключение алгоритм анализа переходного процесса раскрывает мгновенное состояние системы как функцию времени.
Статический алгоритм.
При статическом анализе состояние равновесия, вследствие постоянных механических силам и напряжений, рассчитывается в соответствии с (19):
[K]{q}-{F} = 0 (19)
Поскольку электростатическая сила и возможно жесткость являются нелинейными функциями смещения, для решения уравнения (19) необходимо применять численные методы.
В общем случае нет наилучшего способа для решения нелинейных уравнений. Однако, некоторые методы эффективны в поиске корней, которые, как нам известно, обеспечивают нахожение приблизительного расположения этих корней. Sugar использует метод Ньютона-Рафсона (Newton-Raphson Method). Уравнение (19) это частный случай общего вида:
f({q}) = 0 (20) Прежде всего возьмём {q0}так, чтобы эффективность была близка к корню. В общем случае метод Ньютона-Рафсона приближает решение посредством итерации:
{qn+1}={qn}-[f '({qn})]-1{f,({qn})} (21)где [f '({qn})] - матрица Якобиана системы. Итерация продолжается до тех пор пока:||{qn+1}-{qn}||<ζ (22)где ζ - это допуск. Статическое моделирование простой изгибаемой опоры демонстрирует, что при помощи Sugar можно точно моделировать подобные устройства. Анализ Sugar подвески со складным изгибом (рис 7) в точности согласуется с Abaqus моделированием методом конечных элементов, полученым Judy. Также, Анализ Sugar серпентивидной подвески (рис 8) соответствует моделированиям методом конечных элементов, полученных Fedder. Моделирование подвески с крабовидными ножками также точно.
 |
Рис 3. Сравнение результатов SUGAR и решения методом конечных элементов для поперечной жесткости пружины со складным изгибом против отношения ширины фермы Wt к ширине балки Wb. |
Алгоритм устойчивого состояния.
При анализе устойчивого состояния решают следующее уравнение:
[M]{ }+[C]{ }+[K]{q}={aicos(wt+βi)} (23) где {aicos(wt+βi)} это синусоидальное внешнее возбуждение.
Решением этого уравнения является реальная часть следующего комплексного уравнения:
[M]{ }+[C]{ }+[K]{z}={Bi}ejwt (24) где {Bi}={ai(cosβi+jsinβi)}. Частное решение уравнения (24) имеет следующий вид:
{z}={V}ejwt (25)где {V} - это комплексный вектор, содержащий амплитудную и фазовую информацию отклика системы. Подставляя (25) в (24) получаем:
(-w2[M]+jw[C]+[K]){V}={B} (26)
Единожды решив уравнение (26) для каждого узла можно оценить амплитудный и фазовый отклик. Колебание структуры в устойчивом состоянии может быть проанимировано.
Моделирование при помощи SUGAR резонаторов с разной формой колебания, отражённое в исследованиях Бреннана (Brennan), показывает форму колебаний и график Боде смещения семафорной массы (рис 9 и 10). Эти моделирования используют простую модель потока Куетте (Couette) для затухания всех двигающихся структур.
Моделирования первых трёх режимов согласуется с данными Бреннана об экспериментальных частотах, не превышая 5 % разбежки.
|
Рис 8. Горизонтальная и вертикальная жёсткость пружины для серпентивидной пружины. График показывает жёсткость в направлении x и y как функцию длины меандра b. |
 |
Рис 9. Моделирования устройства многорежимного резонатора с линейным двигателем Бренноном показывают вторую резонансную форму колебаний при 19,177 кГц. |
 |
Рис 10. Моделирования многорежимного резонатора с линейным двигателем, показывающие амплитуду Боде и фазовую диаграмму смещения от базовой точки семафорной массы, как функцию управляющей частоты. Экспериментальные данные соответствуют трём расчётным режимам, не превышая 5 % разбежки. |
Анализ переходных процессов.
Для получения поведения при переходном процессе, мы моделируем смещения системы как функцию времени решателем однородных дифференциальных уравнений, таким как Рунге-Кутта ode45, и методами центральной разницы, такими как суммарная форма и Вилсон-θ.
Динамическое уравнение движения для обобщённой системы может быть описано в виде подобном уравнению (1), где матрицы могут быть функциями положения, скорости и времени.
Метод центральной разности обеспечивает наименьшую сложность. Основная проблема основного цикла подобна следующему:
{}t=[M]-1({F(q,,t)}-[C]{}t-+[K(q)]{q}t) (27)
{}t+0.5Δt={}t-0.5Δt+Δt{}t (28)
{q}t+Δt={q}t+Δt{}t+0.5Δt (29)где Δt<Δtкрит - это шаг критического времени для стабильности.
Мгновенные узловые положения для полной системы рассчитывают интегрированием смещений (решения) уравнения (1), при данных начальных условиях от времени ti до конечное время tf, где [F], [M], [C] и [K] постоянно изменяют и обновляют во время моделирования. На рис 12. показан пример.
 |
Рис 12.Моделирование переходных процессов для резонатора, изображённого на рисунке 7. Верхняя кривая отображает приложенную силу (1 μН за 100 μс). Нижняя кривая отображает смоделированный отклик в воздухе и воде. |
Заключение.
Была продемонстрирована программа моделирования для узлового анализа многообразных планарных МЭМС устройств. Sugar проста в использовании, работает быстро и даёт результаты, которые согласуются с традиционым моделированием конечных элементов, аналитическими моделями и экспериментальными данными. Sugar можно запускать на Unix системах, персональных компьютерах и платформах Macintosh используя MatLab версии 5 и выше. Бесплатная версия программы доступна на сайте http://www-bsac.eecs.berkeley.edu/cadtools/sugar/sugar.
| Раздел Моделирование МЭМС, используя Sugar, составлен на основе статьи Jason Vaughn Clark, Ningning Zhou, and K. S. J. Pister. (University of California at Berkeley) [12]
|
|
